Tempérament égal
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La gamme à tempérament égal[modifier | modifier le wikicode]
introduction[modifier | modifier le wikicode]
La gamme tempéré (à tempérament égal) est divisé en 7 notes (échelle heptatonique) espacé d’un ton sauf entre Mi /fa et Si /Do espacé de seulement un demi ton.
Sur les instruments frettés ainsi que sur les claviers, les dièses et bémols sont confondus (Do# = Réb),
Soit donc 12 demi-tons égaux par octave, ou plus précisément 12 intervalles chromatiques égaux, ceci est la base du tempérament égal.
On notera que lors de l’accord d’un piano, le résultat est parfaitement inharmonique (les graves sont plus grave, les aiguës plus aigües) car tout est fait par rapport au battement,il s'agit d'une gamme tempéré, non pas à tempéraments égal.
Le rapport est donc de 2 (octave) séparé par 12 demi-tons.
applications mathématique[modifier | modifier le wikicode]
Au vue de l'explication de la gamme a tempérament égal, on peut donc écrire l’équation suivante :
2 = R^12
R étant le rapport des fréquences
et donc si on veut R :
R = racine douzième de 2
soit R = 2^(1/12) pour des demi tons, si on veut des quard de ton cela donnera R= 2^(1/24) etc
On remarquera qu'il s'agit tout simplement d'une suite géométrique.
en partant de cette formule, on défini D1 comme étant la distance entre le sillet de manche et la première frette ce qui donnera :
D1 = diapason -(diapason / (2^(1/12)) = diapason - (diapason * 2^(-1/12)) = diapason (1-(2^(-1/12)))
On peut arrondir également R = 2^(1/12) = 1.05946 mais il est préférable de garder la formule exact car dans la dite formule, le 1 représente la première frette .
évidement si on recherche la distance à la seconde frette soit D2, il suffit de remplacer 1 par 2 etc
D(x)= diapason (1-(2^(-x/12)))
Il est souvent préférable de mesurer l'emplacement des frettes depuis une référence donnés (exemple le sillet de tête) que de calculer l'espace entre frettes, des erreurs de traçage étant possible.
les 17,817[modifier | modifier le wikicode]
Un coefficient largement admis dans le calcul de positionnement des frettes est 17,817, mais d’où vient-il ?
Ce coefficient est directement extrait de R(douzième racine de 2), il s’agit de la division de R par R-1 :
R/(R-1) = 1.05946 /( 1.05946 – 1) = 17,817153745104…………
on divisera le diapason (D) par 17,817 ce qui nous donnera la distance entre le sillet de manche et la seconde frette (D1) Pour la seconde frettes on fera (D-D1) / 17.817 etc etc
On peut aussi très facilement calculer directement le coefficient pour la seconde frette en remplaçant 1 par 2 puis 3 etc
A titre d’exemple, on obtiendra environ :
Frette 01 = 17,817
Frette 02 = 18,877
Frette 03 = 19,999
Frette 04 = 21,188