Conception d’une harpe : le plan de cordes

Prenons l’exemple du LA corde 15 dont la fréquence est de 440Hz.

Longueur Max

Nous calculons la longueur MAX en cm de la façon suivante :

$$\frac{\sqrt{(TMax/ML)}}{2F}\times100$$

où ML est la masse linéaire (kg/m), obtenue par la formule suivante :

$$\frac{\pi(\frac{\varnothing}{2})^2\times d}{10^6}$$

$$\frac{\pi(\frac{1.02}{2})^2\times1067}{10^6}$$

$$ML=0.000871875 kg/m$$

et où TMax, en Newtons (N), s’obtient par la formule :

$$TMax=\frac{TS\times\pi\times(\varnothing/2)^2}{10}$$

$$TMax=\frac{3135\times\pi\times(1.02/2)^2}{10}=256.2N$$

Nous obtenons donc, avec une corde de LA 440 de diamètre 1.02 mm :

$$LMax(cm)= (\frac{\sqrt{(256.2/0.000871875)}}{2*440})\times100=61.6cm$$

Cette longueur MAX est théorique, une marge de sécurité située à 70% de la tension de rupture est généralement prise. A noter que cette marge est tout à fait arbitraire. Mais pas autant que la règle des 3% de déficit : elle est le résultat de l’expérience acquise au fil des années par les luthiers.

$$\frac{\sqrt{((TMax\times 70\%)/ML)}}{2F}\times100=51.5cm$$

Vous pouvez ici mener une première expérience : en augmentant le diamètre de la corde, la longueur MAX ne change pas ! Cela signifie que si une corde trop longue casse sur une harpe, il ne sert à rien d’en augmenter le diamètre…

Longeur Min

Pour la longueur minimum, les luthiers retiennent souvent une valeur correspondant à 30% de la valeur de TS.

Nous calculons donc la longueur MIN de la façon suivante :

$$\frac{\sqrt{((TMax\times 30\%)/ML)}}{2F}\times100=33.7cm$$

Tableau des longueurs min et max

A partir des résultats obtenus, nous pouvons facilement avec l’aide d’un tableur, générer un tableau et un graphique des longueurs min et max pour les cordes monofilament en nylon.

Lors de la conception de l’instrument, le luthier cherche à s’approcher le plus possible des longueurs MAX pour les cordes aiguës et à ne pas passer sous les longueurs MIN en descendant dans les graves. Le graphique présenté ci dessous représente les courbes des longueurs min et max (respectivement en vert et jaune) pour des cordes nylon monofilament. La courbe bleue représente la longueur réelle des cordes sur le design de la harpe « Nour ».

Nous voyons qu’au bout d’un moment, en descendant dans les graves, il devient impossible de continuer en conservant des cordes monofilament, les longueurs MIN théoriques nécessaires devenant bien trop grandes… C’est là qu’interviennent les cordes filées ! Nous le verrons un peu plus tard après avoir étudié la tension des cordes.

Les cordes filées

Au bout d’un moment, comme nous l’avons vu plus haut, les cordes monofilament ne conviennent plus. Les cordes filées sont composées d’une âme, d’un certain nombre de fibres (éventuellement), et d’un filetage.

Voyons ce qui se passe en passant avec des cordes filées à partir du FA 24 :

Le graphique montré plus haut devient le suivant :

Les calculs sont un peu différents pour les cordes filées, et les formules sont une simplification assez grossière de la réalité mais elles permettent de s’en faire une bonne idée. Il existe des formules plus précises faisant entrer en jeu d’autres paramètres, mais elles sont également plus complexes !

Voici tout d’abord un tableau présentant les différents matériaux avec leur valeur de TS et leur densité :

Les valeurs communes pour les fibres sont les suivantes :

Calcul de la masse linéaire

Le diamètre global de la corde est calculé de la façon suivante :

$$(\sqrt{\frac{(\varnothing âme ^2 \times \pi/4)+(\varnothing fibre ^2 \times \pi/4 \times Nb Fibres)}{\pi}} + \varnothing filetage)\times 2$$

La masse linéaire peut être calculée de la façon suivante :

$$Masse Linéaire âme (MLa) + Masse Linéaire fibres (MLfib) + Masse Linéaire filetage (MLfil)$$

où :

$$MLfib =\frac{\pi(\frac{\varnothing fibre}{2})^2 \times d\times Nb fibres}{10^6}$$

et où :

$$MLfil=\frac{((\varnothing global^2/4)-(\varnothing global/2 – \varnothing filetage)^2))\times \pi \times 0.7854 \times d}{10^6}$$

Prenons l’example de la corde filée filée LA36 avec les caractéristiques suivantes :

Calculons d’abord le diamètre global de la corde :

$$\varnothing global = (\sqrt{(1.14^2 \times \pi/4/ \pi)} + 0.3)\times 2=1.74$$

Ensuite, la masse linéaire :

$$MLfib=0$$

$$MLfil =\frac{((1.74^2/4)-(1.74/2-0.3)^2))\times \pi \times 0.7854 \times 8930}{10^6}=0,009518664 kg/m$$

$$MLa=\frac{\pi(\frac{\varnothing}{2})^2\times d}{10^6}$$

$$MLa=\frac{\pi(\frac{1.14}{2})^2\times 8869}{10^6}=0,009052619 kg/m$$

$$ML=MLa+MLfib+MLfil$$

$$ML=0,009052619+0+0,009518664=0,018571283 kg/m$$

$$T(N)=335N$$

Nous poursuivons ensuite nos calculs de tension de la même manière que pour les cordes monofilament, en utilisant le diamètre et la masse linéaire globales des cordes.

$$T(N)=0,018571283\times 55^2 \times (122.1/100)^2\times 4$$

Etc.

En conclusion

Nous voyons que le plan de corde revêt une importance capitale dans la conception d’une harpe. Nous comprenons également mieux l’utilité des cordes filées.

A ce titre, les fournisseurs de cordes européens ont standardisé leurs cordes filées, et il est très difficile (voire impossible) de trouver leur caractéristiques détaillées. Si le respect des longueurs Min et Max est capital, il est tout à fait possible d’adopter un plan de cordes standard en reprenant celui d’une harpe Camac aux dimensions proches, par exemple.

Cependant, les Américains ont des fabricants de cordes qui proposent une bien plus grande variété de cordes filées, et dont les caractéristiques sont données. Il est alors possible de réaliser un plan de cordes vraiment sur mesure.

La contrepartie est qu’il est plus coûteux et moins pratique de se fournir en cordes aux États-Unis…

Matthias Desmyter (https://lunissson.fr) m’a fait indiqué que la transition entre les cordes filées et les cordes monofilament est un peu brutale sur les harpes, dans le sens où la différence de son est nettement audible. J’ai effectivement pu le constater sur une harpe Mélusine de Camac (une affaire de goût). En choisissant de réaliser – ou de faire réaliser, adapter – son propre plan de cordes de bout en bout, il est alors possible de réaliser une transition qui nous convienne en passant sur des cordes filées Nylon/Nylon. On peut aussi choisir le matériau des cordes, les diamètres et la tension qui nous conviennent le mieux, etc.

Sources

La feuille de calcul et les explications de cet article ont été réalisés par Etienne Corbet, grâce aux indications de Rick Kemper sur son site (http://www.sligoharps.com/string.html), d’après la feuille de calcul de Music Makers (https://www.harpkit.com).

L’exemple de plan de cordes utilisé dans la feuille de calcula été défini par Matthias Desmyter, facteur de harpe (https://lunissson.fr), en fonction des longueurs de cordes du design “Harpe Nour”.

Quelques informations utiles

Tableau des fréquences :